پیشرفت حسابی

پیشرفت حسابی (AP) دنباله ای از اعداد به ترتیب است که در آن تفاوت بین هر دو عدد متوالی یک مقدار ثابت است. به آن توالی حسابی نیز گفته می شود. به عنوان مثال ، سری اعداد طبیعی: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ،… یک پیشرفت حسابی است که بین دو اصطلاح پی در پی (مثلاً 1 و 2) برابر با 1 ( 2-1) تفاوت مشترکی دارد. بشرحتی در مورد اعداد عجیب و غریب و حتی می توانیم ببینیم که تفاوت مشترک بین دو اصطلاح پی در پی برابر با 2 خواهد بود.

اگر در زندگی منظم خود مشاهده کنیم ، اغلب با پیشرفت حسابی روبرو می شویم. به عنوان مثال ، تعداد دانش آموزان در یک کلاس ، روزها در هفته یا ماه در یک سال. این الگوی سری و توالی در ریاضیات به عنوان پیشرفت تعمیم یافته است.

پیشرفت حسابی چیست؟

در ریاضیات ، سه نوع پیشرفت مختلف وجود دارد. آن ها هستند:

• پیشرفت حسابی (AP)
• پیشرفت هندسی (GP)
• پیشرفت هارمونیک (HP)

پیشرفت یک نوع خاص از دنباله ای است که برای آن می توان فرمولی را برای اصطلاح نهم بدست آورد. پیشرفت حسابی متداول ترین دنباله در ریاضیات با فرمول های آسان برای درک است.

تعریف 1: یک دنباله ریاضی که در آن تفاوت بین دو اصطلاح متوالی همیشه ثابت است و به عنوان AP مختصر است.

تعریف 2: یک توالی یا پیشرفت حسابی به عنوان دنباله ای از اعداد تعریف می شود که در آن برای هر جفت از اصطلاحات متوالی ، شماره دوم با اضافه کردن یک عدد ثابت به مورد اول بدست می آید.

عدد ثابت که باید به هر اصطلاح AP اضافه شود تا اصطلاح بعدی را بدست آورد ، به عنوان تفاوت مشترک AP شناخته می شود. اکنون ، اجازه دهید دنباله ، 1 ، 4 ، 7 ، 10 ، 13 ، 16 ،…

این یک توالی حسابی (پیشرفت) با تفاوت مشترک 3 در نظر گرفته می شود.

نماد در پیشرفت حسابی

در AP ، ما با اصطلاحات اصلی روبرو خواهیم شد ، که به این موارد اشاره شده است:

• دوره اول (الف)
• تفاوت مشترک (D)
• دوره نهم (الف)
• جمع اولین اصطلاحات (s)

هر سه اصطلاح نشان دهنده خاصیت پیشرفت حسابی است. ما در بخش بعدی اطلاعات بیشتری در مورد این سه ویژگی خواهیم داشت.

دوره اول AP

AP همچنین می تواند از نظر تفاوت های مشترک به شرح زیر نوشته شود.

جایی که "A" اولین دوره پیشرفت است.

تفاوت مشترک در پیشرفت حسابی

در این پیشرفت ، برای یک سری معین ، اصطلاحات استفاده شده اصطلاح اول ، تفاوت مشترک و اصطلاح نهم است. فرض کنید ، الف₁, a₂, a₃, ……………., aپس از آن یک AP است ؛تفاوت مشترک "D" را می توان به دست آورد.

جایی که "D" یک تفاوت مشترک است. این می تواند مثبت ، منفی یا صفر باشد.

همچنین ، بررسی کنید:

• جمع پیشرفت هندسی GP
• پیشرفت حسابی برای کلاس 10
• سوالات مهم کلاس 10 ریاضیات فصل 5 پیشرفت حسابی

شکل کلی یک AP

فرمول های پیشرفت حسابی

دو فرمول اصلی وجود دارد که وقتی در مورد پیشرفت حسابی می آموزیم ، با آنها روبرو می شویم ، که مربوط به این موارد است:

• نهمین دوره AP
• جمع اولین اصطلاحات n

بگذارید در اینجا هر دو فرمول را با مثال یاد بگیریم.

نهمین دوره AP

فرمول یافتن مدت N-Th یک AP:

D = تفاوت مشترک

n = تعداد اصطلاحات

مثال: دوره نهم AP: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5…. ، a، اگر تعداد شرایط 15 باشد.

راه حل: داده شده ، AP: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5…. ، a

با فرمولی که می دانیم ، الف= a+(n-1) d

تفاوت مشترک ، d = 2-1 = 1

بنابراین ، الف = a₁₅= 1+ (15-1) 1 = 1+14 = 15

توجه: رفتار دنباله به مقدار یک تفاوت مشترک بستگی دارد.

• اگر ارزش "D" مثبت باشد ، شرایط عضو به سمت بی نهایت مثبت رشد می کند
• اگر مقدار "D" منفی باشد ، شرایط عضو به سمت بی نهایت منفی رشد می کند

انواع AP

AP محدود: AP که حاوی تعداد محدودی از اصطلاحات است ، AP محدود نامیده می شود. یک AP محدود آخرین دوره را دارد.

به عنوان مثال: 3،5،7،9،11،13،15،17،19،21

Infinite AP: AP که تعداد محدودی از اصطلاحات ندارد ، AP Infinite نامیده می شود. چنین AP ها آخرین دوره را ندارند.

به عنوان مثال: 5،10،15،20،25،30 ، 35،40،45 …………………

مجموع N شرایط AP

برای یک AP ، اگر دوره اول ، اختلاف مشترک و کل اصطلاحات شناخته شده باشد ، می توان مبلغ اولین N را محاسبه کرد. فرمول جمع پیشرفت حسابی در زیر توضیح داده شده است:

یک AP متشکل از اصطلاحات "N" را در نظر بگیرید.

این فرمول AP SUM برای یافتن مجموع اصطلاحات N در سری است.

اثبات: یک AP را در نظر بگیرید که اصطلاحات "N" با دنباله A ، A + D ، A + 2D ، …………. ، A + (N - 1) × D را در نظر بگیرید

مبلغ اول اصطلاحات n = a + (a + d) + (a + 2d) + ……….+ [a + (n-1) × d] ——————- (i)

نوشتن اصطلاحات به ترتیب معکوس ، ما:

S= [a + (n - 1) × d] + [a + (n - 2) × d] + [a + (n - 3) × d] + …….(الف) ———— (II)

با اضافه کردن هر دو اصطلاح معادله عاقلانه ، ما داریم:

2S= [2a + (n - 1) × d] + [2a + (n - 1) × d] + [2a + (n - 1) × d] + ………….+ [2a + (n-1) × d] (N- دوره)

2S= n × [2a + (n - 1) × d]

مثال: اجازه دهید از جمع اعداد طبیعی تا 15 عدد مثال بزنیم.

AP = 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، 11، 12، 13، 14، 15

با توجه به، a = 1، d = 2-1 = 1 و a= 15

اکنون، با فرمولی که می دانیم؛

بنابراین مجموع 15 عدد طبیعی اول 120 است.

مجموع AP زمانی که آخرین ترم داده می شود

فرمول برای یافتن مجموع AP زمانی که اولین و آخرین عبارت به شرح زیر است:

فهرست فرمول های پیشروی حسابی

فهرست فرمول ها به صورت جدولی که در AP استفاده می شود، ارائه شده است. این فرمول ها برای حل مسائل بر اساس مفهوم سری و توالی مفید هستند.

پیشروی های حسابی مثال های حل شده

در زیر مسائل مربوط به یافتن عبارت n و مجموع دنباله وجود دارد که با استفاده از فرمول های جمع AP به تفصیل حل شده اند. یک بار آنها را مرور کنید و مشکلات تمرینی را حل کنید تا در مهارت های خود پیشرفت کنید.

مثال 1: مقدار n را بیابید، اگر a = 10، d = 5، a= 95.

راه حل: داده شده، a = 10، d = 5، a= 95

از فرمول اصطلاح عمومی داریم:

95 = 10 + (n − 1) × 5

(n - 1) × 5 = 95 - 10 = 85

مثال 2: عبارت بیستم را برای AP داده شده پیدا کنید: 3، 5، 7، 9، ……

راه حل: با توجه به

a = 3، d = 5 3 = 2، n = 20

a₂₀= 3 + (20 − 1) × 2

مثال 3: مجموع 30 مضرب اول 4 را بیابید.

30 مضرب اول 4 عبارتند از: 4، 8، 12، …. 120

در اینجا، a = 4، n = 30، d = 4

S₃₀= n/2 [2a + (n − 1) × d]

S₃₀= 30/2 [2 (4) + (30 − 1) × 4]

تمرین مشکلات در AP

سوالات زیر را بر اساس فرمول های دنباله حسابی بیابید و برای تمرین خوب آنها را حل کنید.

سوال 1: الف را پیدا کنیدو دهمین ترم پیشرفت: 3، 1، 17، 24، ……

سوال 2: اگر a = 2، d = 3 و n = 90. a را پیدا کنیدو اس .

سوال 3: ترم 7 و 10 ترم یک AP 12 و 25 هستند. ترم دوازدهم را پیدا کنید.

برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد انواع فرمول ها با کمک ویدیوهای شخصی سازی شده، BYJU’S-The Leaing App را دانلود کنید و یادگیری را سرگرم کننده کنید.

سوالات متداول در مورد پیشرفت حسابی

شکل کلی پیشروی حسابی چیست؟

شکل کلی پیشروی حسابی با a، a + d، a + 2d، a + 3d، .... از این رو، فرمول برای یافتن عبارت n: الف= a + (n 1) × d

پیشروی حسابی چیست؟مثال زدن.

دنباله ای از اعداد که تفاوت مشترکی بین هر دو عدد متوالی دارد ، پیشرفت حسابی نامیده می شود (A. P.). مثال A. P. 3،6،9،12،15،18،21 ،…

چگونه می توان جمع پیشرفت حسابی را پیدا کرد؟

برای یافتن مجموع پیشرفت حسابی ، باید اصطلاح اول ، تعداد اصطلاحات و تفاوت مشترک را بدانیم. سپس از فرمول ذکر شده در زیر استفاده کنید: S= n/2 [2a + (n - 1) × d]

انواع پیشرفت در ریاضیات چیست؟

سه نوع پیشرفت در ریاضیات وجود دارد. آنها عبارتند از: پیشرفت حسابی (AP) پیشرفت هندسی (GP) پیشرفت هارمونیک (HP)

استفاده از پیشرفت حسابی چیست؟

پیشرفت حسابی ، سری است که دارای اصطلاحات متوالی است که تفاوت مشترکی بین اصطلاحات به عنوان یک مقدار ثابت دارد. از آن برای تعمیم مجموعه ای از الگوهای استفاده می شود ، که ما در زندگی روزمره خود مشاهده می کنیم. F یا مثال ، AP در پیش بینی هر دنباله ای مانند زمانی که کسی منتظر کابین است استفاده می شود. با فرض اینکه ترافیک با سرعت ثابت در حال حرکت است ، می تواند پیش بینی کند که کابین بعدی چه زمانی فرا می رسد.