میانگین وزنی

روش میانگین وزنی متحرک (MWA) با گرفتن میانگین وزنی تعداد مشخصی از مقادیر مشاهده شده متوالی ، مقدار فارغ التحصیل را تعیین می کند.

اصطلاحات مرتبط:

درباره این صفحه

اقتصاد ، استراتژی های علوم اجتماعی

روش متوسط وزنی در حال حرکت

روش میانگین وزنی متحرک (MWA) با گرفتن میانگین وزنی تعداد مشخصی از مقادیر مشاهده شده متوالی ، مقدار فارغ التحصیل را تعیین می کند. فرمول اساسی به شرح زیر است:

(33) x ˆ t = ∑ s = - m m α s y t + s.

در بیشتر موارد ، فرمول های MWA متقارن هستند: α_s= α_−sبشرفرض بر این است که هر مشاهده از یک مؤلفه واقعی و یک مؤلفه خطا تشکیل شده است:

(34) y t = x t + ɛ t.

جایگزین Eq.(34) به Eq.(33) به دست می آورد

(35) x ˆ t = ∑ s = - m m α s x t + s + ∑ s = - m m α s ɛ t + s.

مشکل یافتن α است_sبه طوری که x_tتکثیر می شود ،

(36) x t = ∑ s = - m m α s x t + s ،

و خطای باقیمانده ، که

(37) ɛ t mwa = ∑ s = - m m α s ɛ t + s ،

از نظر قابل ملاحظه ای کوچکتر از_t، مؤلفه خطای مشاهده y_tبشرفرض استفاده شده در این روش این است که دنباله x_tدر محدوده محدود [t-m ، t + m] از نزدیک توسط یک چند جمله ای درجه پایین مانند مکعب نشان داده شده است. این فرض منجر به اولین مجموعه ای از شرایط می شود که α_sارزش ها باید برآورده شوند. مجموعه دوم شرایط از کاهش خطای اندازه گیری تخمین زده شده باقیمانده حاصل می شود. زیرا فرض بر این است که y_tبی طرفانه است ، سپس mwa با روش MWA نیز بی طرفانه است ، به طوری که e [ɛ t mwa] = 0. بنابراین هیچ شایستگی در تلاش برای به حداقل رساندن خطای برآورد شده باقی مانده وجود ندارد. در عوض ، خطای مدل مربع تخمین زده شده ، e [(ɛ t mwa) 2] ، که واریانس خطای مدل ، var (ɛ t mwa) است ، به حداقل می رسد. اما از آنجا که x ˆ t = x t + ɛ t mwa ، نتیجه می گیرد که var (ɛ t mwa) = var (x ˆ t). توجه داشته باشید که این مبتنی بر فرم چند جمله ای فرض شده برای x است_tبشراگر فرض شود که هر خطای مشاهده دارای همان واریانس ، σ 2 ، Eq است.(38) می توان به دست آورد:

(38) var (x ˆ t) = σ 2 ∑ - m m α s 2. (39) r 0 2 = ∑ - m m α s 2 ،

اکنون می توان گفت که ضرایب α_sبه دنبال Eq.(33) مواردی هستند که R 0 2 را به حداقل می رسانند و محدودیت های فرم چند جمله ای را برآورده می کنند. فرمول MWA با ضرایب به دست آمده حداقل به عنوان حداقل نامیده می شود₀فرمول

از آنجا که var (y_t) = var (_t) = σ 2 ، پس از آن نتیجه می گیرد

(40) r 0 2 = var (x ˆ t) var (y t).

به عبارت دیگر ، R 0 2 نسبت واریانس است. متأسفانه ، فارغ التحصیلان با استفاده از حداقل₀فرمول به ندرت اثبات می شود که رضایت بخش باشد ، و اغلب باعث عدم مناسب بودن و درجه ای از صافی قابل قبول نمی شود. برای معیارهای عملی تناسب و صافی ، تعمیم حداقل₀فرمول ترجیح داده می شود. نسبت به حداقل می رسد

(41) r z 2 = var (Δ z x ˆ t) var (Δ z y t).

همانطور که در مورد z = 0 ، می توان آن را بدست آورد

(42) var (Δ z x ˆ t) = σ 2 ∑ - m - z m (Δ 2 α s) 2.

مفروضات غیر همبسته و برابری منجر به

(43) var (Δ z y t) = (2 Z Z) σ 2.

r z 2 را می توان به عنوان میزان زبری در x ˆ t به آن در y تعبیر کرد_t، همانطور که در ترتیب اختلافات اندازه گیری می شود. اگر مورد نظر است که x ˆ t نرم تر از y است_t، ترجیح داده می شود که R z 2 را پیدا کنید<1 . R_z"ضریب هموار سازی" فرمول MWA است.

URL: https://www. scienceirect. com/science/article/pii/b0123693985002747

بافت

*10. 4. 5 میانگین وزنی بیضوی

الگوریتم میانگین وزنی بیضوی (EWA) در فضای بافتی که توسط دیفرانسیل های مختصات بافت داده شده است ، بیضوی متناسب با دو محور است و سپس بافت را با یک عملکرد فیلتر گاوسی فیلتر می کند (شکل 10. 15). این امر به طور گسترده به عنوان یکی از بهترین الگوریتم های فیلتر کننده بافت در گرافیک در نظر گرفته شده و با دقت از اصول اساسی تئوری نمونه گیری گرفته شده است. بر خلاف فیلتر مثلث در بخش قبلی ، می تواند در مناطق خودسرانه از بافت فیلتر شود ، با برخی از انعطاف پذیری در داشتن فیلترهای مختلف در جهات مختلف. این نوع فیلتر به عنوان ناهمسانگرد شناخته می شود. این توانایی باعث افزایش کیفیت نتایج آن می شود ، زیرا می تواند به درستی با نرخ نمونه برداری مختلف در طول دو محور تصویر سازگار شود.

ما مشتق کامل این فیلتر را در اینجا نشان نمی دهیم ، اگرچه ما توجه می کنیم که با یک فیلتر یکپارچه سازی یکپارچه ، متمایز می شود: به طور همزمان نتیجه عملکرد بافت فیلتر شده گاوسی را که با یک فیلتر بازسازی گاوسی در فضای تصویر پیچیده شده است محاسبه می کند. این برخلاف بسیاری از روش های فیلتر بافت دیگر است که تأثیر فیلتر فضای تصویر را نادیده می گیرد یا به طور معادل فرض می کند که این یک جعبه است. حتی اگر یک گاوسی برای فیلتر کردن نمونه ها برای ارائه تصویر مورد استفاده قرار نگیرد ، با در نظر گرفتن برخی از تنوع مکانی فیلتر تصویر ، نتایج را بهبود می بخشد ، با فرض اینکه فیلتر مورد استفاده تا حدودی شبیه به شکل گاوسی است ، مانندفیلترهای SINC میچل و ویندوز هستند.

تعاریف روش mipmap〉 + ≡

t mipmap:: Lookup (Const Point2f & St ، Vector2f DST0 ،

Vector2f DST1) const

عرض float = std :: حداکثر (std :: max (std :: abs (dst0 [0]) ،

جستجوی بازگشت (ST ، 2 * عرض) ؛

〈محاسبه بیضی جزئی و بزرگ محورهای 636〉

〈بیضه بیضی اگر بیش از حد بزرگ 636〉

〈سطح جزئیات را برای جستجوی EWA انتخاب کنید و فیلتر EWA 636 را انجام دهید

مشتقات جزئی فضای صفحه مختصات بافت ، محورهای بیضی را تعریف می کنند. روش جستجو با تعیین اینکه کدام یک از دو محور محور اصلی است (طولانی تر از این دو) و کدام یک است ، در صورت لزوم آنها را مبادله می کند تا DST0 محور اصلی باشد. طول محور جزئی به زودی برای انتخاب سطح نقشه MIP استفاده می شود.

〈محاسبه محورهای جزئی و عمده 635 ≡ ≡ ≡ 635

float majorl طول = dst0. l طول () ؛

float minorl طول = dst1. l طول () ؛

در مرحله بعد محرک بیضی محاسبه می شود - نسبت طول محور اصلی به طول محور جزئی. یک مرکز بزرگ بزرگ نشانگر بیضی بسیار طولانی و لاغر است. از آنجا که این روش از سطح نقشه MIP که بر اساس طول محور جزئی انتخاب شده است ، فیلترهای فیلته ای را فیلتر می کند ، بیضی های بسیار عجیب و غریب به این معنی است که تعداد زیادی از Texels باید فیلتر شوند. برای جلوگیری از این هزینه (و برای اطمینان از اینکه هرگونه جستجوی EWA مدت زمان محدودی را به خود اختصاص می دهد) ، ممکن است طول محور جزئی برای محدود کردن خارج از مرکز افزایش یابد. نتیجه ممکن است افزایش تار شدن باشد ، اگرچه این اثر معمولاً در عمل قابل توجه نیست.

〈بیضه بیضی اگر خیلی بزرگ باشد ≡ 635 ≡

مقیاس float = majorl طول / (طول جزئی * maxanisotropy) ؛

if (minorl طول == 0)

مثلث بازگشت (0 ، خیابان) ؛

مانند فیلتر مثلث ، فیلتر EWA از Pyramid Image برای کاهش تعداد Texels که برای یک جستجوی بافت خاص فیلتر می شود ، استفاده می کند و سطح نقشه MIP را بر اساس طول محور جزئی انتخاب می کند. با توجه به محدودیت محدود بیضی به دلیل بستن فوق ، تعداد کل Texels مورد استفاده محدود می شود. با توجه به طول محور جزئی ، محاسبه برای یافتن سطح هرم مناسب همان است که برای فیلتر مثلث استفاده شده است. به طور مشابه ، اجرای در اینجا بین نتایج فیلتر شده در دو سطح در سطح جزئیات محاسبه شده ، مجدداً برای کاهش مصنوعات از انتقال از یک سطح به سطح دیگر مخلوط می شود.

〈سطح جزئیات را برای جستجوی EWA انتخاب کنید و فیلتر EWA را انجام دهید〉 ≡ 635

float lod = std :: حداکثر ((شناور) 0 ، سطح () - (شناور) 1 + log2 (طول جزئی)) ؛

int ilod = std :: طبقه (LOD) ؛

بازگشت LERP (LOD - ILOD ، EWA (ILOD ، ST ، DST0 ، DST1)

EWA (ILOD + 1 ، ST ، DST0 ، DST1)) ؛

روش mipmap :: ewa () در واقع فیلتر را در یک سطح خاص اعمال می کند.

تعاریف روش mipmap〉 + ≡

t mipmap:: EWA (سطح int ، ST Point2f ، Vector2f DST0 ،

Vector2f DST1) const

if (level>= سطح ()) بازگشت Texel (سطح () - 1 ، 0 ، 0) ؛

requoines مختصات EWA به مقیاس مناسب برای سطح 637〉

ضرایب بیضوی محاسبه برای محدود کردن منطقه فیلتر EWA 637

box جعبه محدود کردن بیضی (s ، t) را در فضای بافت 638 محاسبه کنید

〈اسکن بیش از بیضوی و معادله درجه دوم 639〉

این روش ابتدا از مختصات بافت در [0 ، 1] به هماهنگی ها و دیفرانسیل ها از نظر وضوح سطح نقشه MIP انتخاب شده تبدیل می شود. همچنین 0. 5 را از مختصات موقعیت مداوم برای تراز کردن نقطه نمونه با مختصات Texel گسسته ، همانطور که در MIPMAP :: مثلث () انجام شد ، کم می کند.

〈CONVERT IWA به مقیاس مناسب برای سطح〉 637 ≡

st[0] = st[0] * pyramid[level]>usize () - 0. 5f ؛

st[1] = st[1] * pyramid[level]>vsize () - 0. 5f ؛

dst0[0] * = pyramid[level]>استفاده () ؛

dst0[1] * = pyramid[level]>vsize () ؛

dst1[0] * = pyramid[level]>استفاده () ؛

dst1[1] * = pyramid[level]>vsize () ؛

در مرحله بعد ضرایب معادله ضمنی برای بیضی با محورها (DS0 ، DT0) و (DS1 ، DT1) را محاسبه می کند و در مبدا محور است. قرار دادن بیضی در مبدا به جای (S ، T) معادله ضمنی و محاسبه ضرایب آن را ساده می کند و می تواند به راحتی اصلاح شود که بعداً معادله ارزیابی شود. شکل کلی معادله ضمنی برای همه نقاط (s ، t) در داخل چنین بیضی است

e s t = a s 2 + b s t + c t 2اگرچه از نظر محاسباتی کارآمدتر است تا از طریق F تقسیم شود و این را بیان کنید

e s t = a f s 2 + b f s t + c f t 2 = a ′ s 2 + b ′ s t + c ′ t 2<1 .

ما معادلات را که مقادیر ضرایب را می دهد ، استخراج نمی کنیم ، اگرچه خواننده علاقه مند می تواند به راحتی صحت آنها را تأیید کند. 4

ضرایب بیضی محاسبه برای محدود کردن منطقه فیلتر EWA〉 ≡ 637

float a = dst0 [1] * dst0 [1] + dst1 [1] * dst1 [1] + 1 ؛

float b = -2 * (DST0 [0] * DST0 [1] + DST1 [0] * DST1 [1]) ؛

float c = dst0 [0] * dst0 [0] + dst1 [0] * dst1 [0] + 1 ؛

float invf = 1 / (a * c - b * b * 0. 25f) ؛

مرحله بعدی یافتن جعبه محدود کننده محور در هماهنگی های عدد صحیح گسسته Texel از Texels است که به طور بالقوه در داخل بیضی هستند. الگوریتم EWA بیش از همه این کاندیداها را حلقه می کند و سهم کسانی را که در واقع در بیضی قرار دارند فیلتر می کند. جعبه محدودیت با تعیین حداقل و حداکثر مقادیر بیضی در جهت S و T یافت می شود. این افراط و تفریط را می توان با یافتن مشتقات جزئی ∂E / ∂S و ∂E / ∂T ، پیدا کردن راه حل های آنها برای S = 0 و T = 0 محاسبه کرد و جبران را به مرکز بیضی اضافه کرد. برای کوتاه بودن ، ما مشتق این عبارات را در اینجا نمی گنجیم.

box جعبه محدود کننده بیضی (S ، T) را در فضای بافت ≡ 637 محاسبه کنید

float det = -b * b + 4 * a * c ؛

float invdet = 1 / det ؛

float usqrt = std :: sqrt (det * c) ، vsqrt = std :: sqrt (a * det) ؛

int s0 = std :: ceil (st [0] - 2 * invdet * usqrt) ؛

int s1 = std :: طبقه (st [0] + 2 * invdet * usqrt) ؛

int t0 = std :: ceil (st [1] - 2 * invdet * vsqrt) ؛

int t1 = std :: طبقه (st [1] + 2 * invdet * vsqrt) ؛

اکنون که جعبه محدودیت شناخته شده است ، الگوریتم EWA بر روی Texels حلقه می کند و هرکدام را به سیستم مختصات تبدیل می کند که در آن نقطه جستجوی بافت (S ، T) با ترجمه در منشاء است. سپس معادله بیضی را ارزیابی می کند تا ببیند آیا Texel در داخل بیضی است (شکل 10. 16) و در این صورت وزن فیلتر را برای Texel محاسبه می کند. مقدار فیلتر نهایی برگشتی یک مبلغ وزنی بیش از Texels (S ′ ، T ′) در داخل بیضی است ، جایی که F عملکرد فیلتر گاوسی است:

∑ F S ′ - S ، T ′ - T T S ′ T ′ ∑ F S ′ - S ، T ′ - T.

〈اسکن بیش از بیضی و معادله درجه دوم〉 637 ≡

sumwts float = 0 ؛

برای (int it = t0 ؛ آن<= t1; ++it)

float tt = it - st [1] ؛

برای (int is = s0 ؛ is<= s1; ++is)

float ss = is - st [0] ؛

〈محاسبه شعاع مربع و فیلتر Texel اگر در داخل بیضی 639〉

مبلغ بازگشت / sumwts ؛

یک ویژگی خوب از معادله ضمنی e (s ، t) این است که مقدار آن در یک تگزیل خاص ، نسبت مربع فاصله از مرکز بیضی به تگزیل تا فاصله از مرکز بیضی تا مرز بیضوی است. در امتداد خط از طریق آن Texel (شکل 10. 16). این مقدار را می توان برای فهرست بندی در جدول جستجوی پیش ساخته مقادیر عملکرد فیلتر گاوسی استفاده کرد.

〈محاسبه شعاع مربع و فیلتر Texel اگر در داخل بیضی〉 ≡ 639 ≡

float r2 = a * ss * ss + b * ss * tt + c * tt * tt ؛

int index = std :: min ((int) (r2 * وزنه برداری) ،

وزن شناور = وزنه بردار [شاخص] ؛

جمع + = texel (سطح ، IS ، IT) * وزن ؛

جدول جستجوی اولین باری که یک MIPMAP ساخته می شود ، آغاز می شود. از آنجا که با مسافت مربع از مرکز فیلتر R 2 فهرست بندی می شود ، هر ورودی به جای E - α R 2 مقدار E - αR را ذخیره می کند.

〈mipmap داده های خصوصی〉 + ≡ 625

static constexpr int weightlutsize = 128 ؛

وزنه برداری شناور استاتیک [وزنه بردار] ؛

به طوری که عملکرد فیلتر به جای داشتن یک مرحله ناگهانی ، در انتهای وسعت خود به صفر می رود ، STD :: EXP (-ALPHA) از مقادیر فیلتر در اینجا جدا می شود.

〈در صورت نیاز وزن فیلتر EWA را آغاز کنید〉 ≡ 625 ≡

if (وزنه بردار [0] == 0.)

float r2 = float (i) / float (وزنه برداری - 1) ؛

وزنه بردار [i] = std :: exp (-alpha * r2)-std :: exp (-alpha) ؛

URL: https://www. sciencedirect. com/science/article/pii/b9780128006450500105

الکتروکینتیک در ریزگردها

روش تجزیه و تحلیل عددی

اگرچه سرعت متوسط با وزن متوسط ، U ¯ ، مورد توجه است ، اما فقط حمل و نقل یون های رنگ نشده بدون رنگ مشاهده می شود. تکنیک تجزیه و تحلیل عددی باید سرعت متوسط وزن جرم ، U ¯ را از تصاویر حمل و نقل یونی که به دلیل انتشار اجباری و معمولی متفاوت است ، استنباط کند. شار مولی یون های رنگ نشده بدون رنگ ، J ⇀ i * ، توسط معادله Nest-Planck به شکل اداره می شود

(22) j ¯ i * = c i u ¯ - d ∇ ¯ c i - (z i e k t) d c i ∇ ¯ ψ

که در آن پتانسیل الکترواستاتیک است. اگر جریان کاملاً توسعه یافته باشد ، و شیب محوری پتانسیل الکترواستاتیک یک ثابت شناخته شده است ، e_x، سرعت الکتروفورز محوری ، تو_Ph، به یک ثابت شناخته شده تبدیل می شود و شار یونی شکل می گیرد

(23) (j i *) x = c i (u x + u p h) - d ∂ c i ∂ x

(با توجه به مورد خاص جریان فشار محور در حضور یک EDL نازک ، پتانسیل جریان ناچیز می شود و سرعت الکتروفورز ، U_Ph، ممکن است مورد غفلت واقع شود.)

در مکانهایی که شیب غلظت صفر است ، حمل و نقل یونی مشاهده شده تنها افزودن سرعت الکتروفورز شناخته شده و سرعت متوسط با وزن جرم مورد نظر است. در این روش ، هر یک از این مکان های شیب غلظت رنگ محوری صفر به عنوان نقاط نشانگر انتخاب شدند ، به گونه ای که مشخصات سرعت مقطعی می تواند مستقیماً از سرعت مشاهده شده این نقاط به شرح زیر محاسبه شود:

(24) u x (r) = u o b (r) - u p h

قبل از هر اجرا ، دوربین به گونه ای چرخانده شد که شبکه پیکسل با جهت های شعاعی و محوری تراز شود. پس از هر اجرا ، تصاویر دریافت شده پردازش شدند و در قالب ماتریس به برنامه تجزیه و تحلیل خوانده شدند. در امتداد هر خط محوری پیکسل ها ، یک نقطه نشانگر شیب صفر با استفاده از میانگین وزنی از بالاترین مقادیر با شدت در آن خط قرار داشت. مجموعه نشانگرها از هر تصویر ، یک پروفایل غلظت حداکثر ، حداکثر جریان را تشکیل می دهند. هر جفت از این پروفایل ها می توانند با تقسیم فاصله بین آنها ، Δ x ، با مرحله زمانی مربوطه ، Δ t ، مشخصات سرعت را فراهم کنند. با 8 تصویر ، 28 پروفایل سرعت می تواند ساخته شود. به طور کلی ، برای مجموعه ای از تصاویر n مجموعه ای از پروفایل های سرعت n می تواند در جایی ساخته شود

(25) n = σ i = 1 n (n - i)

در اینجا ، تمام جابجایی های N محاسبه شد و یک روش متوسط با وزن خطا برای محاسبه مشخصات سرعت استفاده شد. اساس وزن این بود که اندازه گیری جابجایی ، Δ x_iبشرهمه به دلیل سر و صدای محدود ، تصادفی ، سیگنال خطای مشابهی دارند. با این حال ، اندازه زمان بندی مربوطه می تواند تأثیر آن خطا را بر مقدار سرعت مقیاس کند. وزن هر اندازه گیری به گونه ای که هر یک به طور مساوی در خطای کلی نقش داشته باشد و منجر به محاسبه مستقیم در زیر شود

(26) u x (r) = σ i = 1 n Δ x i (r) σ i = 1 n Δ t i URL: https://www. sciencedirect. com/science/article/pii/s1573428504800292

خلاصه های برجسته

میانگین وزنی: تنظیم اهمیت

میانگین وزنی مانند میانگین است ، به جز این که به شما امکان می دهد اهمیت یا "وزن" دیگری را به هر مورد داده ارائه دهید. میانگین وزنی به شما انعطاف پذیری می دهد تا سیستم اهمیت خود را در صورت مناسب بودن با هر یک از موارد به طور مساوی تعریف کنید.

اگر یک شرکت سه گیاه داشته باشد و هزینه بازنشستگی کارمندان برای هر گیاه مورد تجزیه و تحلیل قرار گیرد ، ممکن است منطقی نباشد که میانگین این سه عدد را به عنوان خلاصه هزینه بازنشستگی معمولی مصرف کنید ، به خصوص اگر گیاهان از نظر اندازه بسیار متفاوت باشند. اگر یک گیاه دو برابر بیشتر از کارمندان دیگر داشته باشد ، منطقی به نظر می رسد که هزینه بازنشستگی آن باید در فرآیند خلاصه دو برابر شود. میانگین وزنی به شما امکان می دهد این کار را با استفاده از وزنهای تعریف شده با توجه به اندازه هر گیاه انجام دهید. در واقع ، شما با تصمیم گیری در مورد اینکه ترجیح می دهید واحدهای ابتدایی مورد مطالعه بسیاری از کارمندان به جای سه گیاه باشد ، میانگین را از "در هر گیاه" به "هر کارمند" تغییر می دهید.

وزن ها معمولاً اعداد مثبتی هستند که به 1 می رسند و اهمیت نسبی هر مورد داده را بیان می کنند. نگران نباشید اگر وزن اولیه شما به 1. اضافه نشود. همیشه می توانید با تقسیم هر وزن بر اساس مجموع وزن ، آنها را مجبور به انجام این کار کنند. وزن اولیه شما ممکن است با تعداد کارمندان ، ارزش بازار یا برخی اقدامات عینی دیگر یا با یک روش ذهنی (یعنی با استفاده از نظر شخصی یا متخصص شخصی) تعیین شود. گاهی اوقات تنظیم وزنهای اولیه بدون نگرانی در مورد اینکه آیا آنها به 1 اضافه می کنند ، ساده تر است و سپس با تقسیم بر کل بعداً تبدیل می شوند.

فرض کنید تصمیم دارید با استفاده از وزنهای تعیین شده توسط تعداد کارمندان در هر گیاه ، میانگین وزنی از هزینه های بازنشستگی را برای سه گیاه محاسبه کنید. اگر این سه گیاه 182 ، 386 و 697 کارمند داشته باشند ، از وزن مربوطه استفاده می کنید

توجه داشته باشید که در هر حالت ، وزن با تقسیم مبلغ 182 + 386 + 697 = 1،265 بدست آمد. وزن حاصل به 1 اضافه می شود ، زیرا آنها باید 4: 0. 144 + 0. 305 + 0. 551 = 1.

برای محاسبه میانگین وزنی ، هر مورد داده را با وزن خود ضرب کرده و این نتایج را جمع کنید. این تمام چیزی است که در مورد آن وجود دارد. فرمول به این شکل است:

میانگین وزنی

میانگین وزنی = مجموع زمان وزن مورد داده = W 1 x 1 + W 2 x 2 + ⋯ + w n x n = ∑ i = 1 n w i x i

جایی که w₁، w₂,…, w_nدر برابر وزنهای مربوطه ، که حداکثر 1 را اضافه می کند ، به طور متوسط (بدون وزنه) به عنوان میانگین وزنی که در آن تمام موارد داده دارای وزن یکسان هستند ، یعنی 1/ n فکر کنید.

میانگین وزنی 63 ، 47 و 98 با وزن مربوط به 0. 144 ، 0. 305 و 0. 551 است

0. 144 × 63 + 0. 305 × 47 + 0. 551 × 98 = 9. 072 + 14. 335 + 53. 998 = 77. 405

توجه داشته باشید که این متفاوت از مقدار متوسط (بدون وزنی) متوسط (63 + 47 + 98)/3 = 69. 333 است ، همانطور که ممکن است انتظار داشته باشید. میانگین وزنی بیشترین تعداد تأکید اضافی را دارد ، یعنی وزن 0. 551 ، که بیش از یک سوم وزن است. بنابراین منطقی است که میانگین وزنی در این مورد باید بزرگتر از میانگین بدون وزنی باشد.

میانگین وزنی ممکن است به بهترین وجه به عنوان میانگین تعبیر شود که برخی از موارد اهمیت بیشتری نسبت به سایرین دارند. مواردی که از اهمیت بیشتری برخوردار هستند ، در ارزش میانگین وزنی بیشتر حرفی برای گفتن دارند.

مثال

میانگین امتیاز درجه شما

میانگین نمره درجه یا GPA که برای برنامه دانشگاه شما محاسبه شده است ، میانگین وزنی است. این امر ضروری است زیرا برخی از دوره ها ساعت اعتبار بیشتری دارند و بنابراین اهمیت بیشتری نسبت به سایرین دارند. منطقی به نظر می رسد که دوره ای که دو برابر بیشتر از زمان دیگری ملاقات می کند باید دو برابر تأثیر بگذارد و GPA این موضوع را منعکس می کند.

مدارس مختلف سیستم های مختلفی دارند. فرض کنید سیستم شما شامل نمرات 0. 0 (flunking) تا 4. 0 (عالی) است ، و کارت گزارش شما برای این اصطلاح به این شکل است:

وزن با تقسیم هر یک از اعتبارات به 15 ، تعداد کل اعتبار محاسبه می شود. GPA شما سپس به عنوان میانگین وزنی از نمرات شما محاسبه می شود ، با توجه به تعداد اعتبارات وزن می شود:

5 15 × 3. 7 + 5 15 × 3. 3 + 4 15 × 3. 5 + 1 15 × 2. 8 = 3. 45

برای یافتن میانگین وزنی در اکسل ، ابتدا یک نام را به اعداد در هر ستون اختصاص دهید. ساده ترین راه برجسته کردن همه ستون ها ، از جمله عناوین در بالا ، و سپس استفاده از Excel's Create From Selection در بخش نام های مشخص شده از روبان فرمول ها ، و بر روی OK کلیک کنید ، به شرح زیر است:

اکنون شما آماده استفاده از عملکرد Sumproduct Excel (که هر مقدار اعتبار را با مقدار درجه مربوطه ضرب می کند و سپس نتایج را اضافه می کند) تقسیم بر مبلغ اعتبارات (به طوری که وزن آنها به 1) تقسیم می شود. نتیجه متوسط وزنی ، 3. 45 ، به شرح زیر است:

معدل شما ، 3. 45 ، خوشبختانه به دلیل وزن کوچک آن (فقط 1 اعتبار) تحت تأثیر درجه پایین (برای مسیر) قرار نگرفت. اگر این چهار نمره به طور متوسط به طور متوسط باشد ، نتیجه پایین تر می شد (3. 33). با تشکر از شما با تمرکز بر روی دوره های تجاری خود ، وقتی که بحران پایان مدت ضربه زده شد و اجازه می دهد یکی دیگر به اسلاید برسد ، به نمرات خود خیلی صدمه ندیدید!

مثال

هزینه سرمایه شرکت

هزینه سرمایه شرکت ، مفهومی از امور مالی شرکت ، به عنوان میانگین وزنی محاسبه می شود. ایده این است که یک شرکت با فروش انواع ابزارهای مالی پول جمع آوری کرده است: سهام ، اوراق قرضه ، مقاله تجاری و غیره. از آنجا که هر یک از این اوراق بهادار نرخ بازده خاص خود را دارد (هزینه سرمایه به شرکت) ، ترکیب و خلاصه کردن نرخ های مختلف به عنوان یک شماره واحد که نشان دهنده هزینه کل برای شرکت جمع آوری پول با این انتخاب است ، مفید خواهد بود. اوراق بهادار

هزینه سرمایه شرکت یک میانگین وزنی ساده از هزینه سرمایه هر امنیت است (این نرخ بازده آن یا نرخ بهره آن است) ، جایی که وزنه ها با توجه به ارزش کل بازار آن امنیت تعیین می شوند. به عنوان مثال ، اگر سهام ترجیحی تنها 3 ٪ از ارزش بازار اوراق بهادار برجسته یک شرکت را نشان دهد ، باید هزینه آن وزن کم داشته باشد.

وضعیت Leverated Industries ، Inc. را در نظر بگیرید ، یک شرکت فرضی با بدهی های زیادی که ناشی از فعالیت اخیر ادغام و کسب 5 است:

برای یافتن وزنه ها ، هر ارزش بازار را بر اساس کل تقسیم کنید ، که ارزیابی بازار از نسبت هر نوع امنیت 6 را بیان می کند:

از آنجا که وزن سهام مشترک 0. 220 است ، نتیجه می گیرد که 22 ٪ از شرکت از نظر ارزش بازار با سهام مشترک تأمین می شود. هزینه سرمایه سپس با ضرب نرخ بازده بازار توسط این وزنه ها و جمع بندی محاسبه می شود:

0. 220 × 18. 5 + 0. 033 × 14. 9 + 0. 495 × 11. 2 + 0. 253 × 11. 2 = 12. 94

هزینه سرمایه برای صنایع اهرم ، شرکت ، 12. 9 ٪ است. این میانگین وزنی هزینه های سرمایه (5 /18 ٪ ، 14. 9 ٪ و 11. 2 ٪) را به یک تعداد واحد ترکیب کرده است.

اگر دو مسئله اوراق قرضه را در یک مورد یک خط ترکیب کرده اید ، با ارزش بازار ترکیبی 340،000 دلار و 11. 2 ٪ نرخ بازده ، هیچ تغییری در این نتیجه (9 /12 ٪) ایجاد نشده است ، همانطور که با انجام محاسبه تأیید می شود. این همانطور که باید باشد ، از آنجا که چنین تمایزی نباید عواقب عملی داشته باشد: دو مسئله اوراق قرضه دارای کوپن های مختلفی هستند زیرا در زمان های مختلف صادر شده اند ، و از آن زمان ، قیمت بازار آنها به گونه ای تنظیم شده است که بازده آنها (نرخ بازده) یکسان هستند.

این هزینه متوسط سرمایه ممکن است به شرح زیر تعبیر شود. اگر صنایع اهرم تصمیم به جمع آوری سرمایه اضافی بدون تغییر استراتژی اصلی تجارت خود (یعنی انواع پروژه ها ، خطر پروژه ها) و نگه داشتن همان ترکیب نسبی اوراق بهادار ، پس از آن باید بازپرداخت 12. 9 ٪ یا 129 دلار در هر 1000 دلار افزایش یابددر سال. این 129 دلار با توجه به وزنهای داده شده به انواع مختلف اوراق بهادار پرداخت می شود.

مثال

تنظیم برای ارائه نادرست

استفاده دیگر از میانگین وزنی ، تصحیح نادرست شناخته شده در یک نمونه در مقایسه با جمعیتی است که می خواهید درباره آن بدانید. از آنجا که میانگین نمونه با همه افراد یکسان رفتار می کند ، اما می دانید که (در مقایسه با جمعیت) برخی از گروه های افراد بیش از حد نمایندگی می شوند و برخی دیگر از آنها کمتر نمایندگی می شوند ، میانگین وزن مجدد نتیجه بهتری به شما می دهد. میانگین وزنی بهتر است زیرا اطلاعات شناخته شده در مورد هر گروه (از نمونه) را با اطلاعات بهتر در مورد نمایندگی هر گروه (از جمعیت به جای نمونه) ترکیب می کند. از آنجا که از بهترین اطلاعات از هر نوع استفاده می شود ، نتیجه بهبود می یابد.

نمونه 300 فرد از کلیولند را در مثال قبلی مخارج بهداشت شخصی مصرف کننده مورد بررسی قرار دهید. فرض کنید که درصد جوانان (زیر 18 سال) در نمونه (21. 7 ٪) با درصد شناخته شده برای کل جمعیت (25. 8 ٪) مطابقت نداشته و میانگین مخارج برای هر گروه به طور جداگانه محاسبه می شود:

متوسط هزینه برای افراد زیر 18 سال = 4. 86 دلار

متوسط هزینه برای افراد 18 یا بالاتر = 7. 06 دلار

میانگین وزنی این مخارج از وزنهای جمعیت (به جای نمونه) استفاده می کند ، یعنی 25. 8 ٪ جوانتر و 74. 2 ٪ (که 100-25. 8 ٪ است) افراد مسن تر از آنجا که می دانید این درصد صحیح برای استفاده هستند. البته ، اگر اطلاعات هزینه ای برای کل شهر داشتید ، از آن نیز استفاده می کنید ، اما این کار را نمی کنید. شما آن را فقط برای 300 نفر در نمونه دارید. با تبدیل درصد به وزنه ها ، میانگین وزنی ممکن است به شرح زیر محاسبه شود:

متوسط هزینه وزنی = 0. 258 × 4. 86 $ + 0. 742 × 7. 06 $ = 6. 49 دلار

این میانگین وزنی ، 6. 49 دلار ، تخمین بهتری از متوسط هزینه های بهداشت شخصی در کلیولند نسبت به ارزش متوسط معمولی (بدون مجازات) (6. 58 دلار) می دهد. میانگین وزنی بهتر است زیرا این واقعیت را تصحیح کرده است که تعداد زیادی از افراد مسن در نمونه 300 وجود داشته است. 7 از آنجا6. 49 دلار).

البته حتی این برآورد وزنی جدید احتمالاً اشتباه است. با این حال ، این مبتنی بر اطلاعات بهتر است و خطای مورد انتظار کوچکتر دارد ، همانطور که می توان با استفاده از مدلهای ریاضی اثبات کرد. برآورد جدید لزوماً در هر مورد بهتر نیست (یعنی حقیقت ممکن است در این مثال به میانگین معمولی و بدون وزنی نزدیکتر باشد) ، اما روش وزنی پاسخی می دهد که احتمالاً به حقیقت نزدیکتر است.