روش تجزیه و تحلیل فراکتال

Revista Mexico de Física

Versión تحت تأثیر قرار دادن ISSN 0035-001x

روحانی فر. مکسFISجلد 63 شماره 1 México Ene./feb. 2017

یک روش تخمین از بعد فراکتال رابط های سخت شده خود دفع

D. Samayoa Ochoa.

A. Rodríguez Castellanos b

مؤسسه Politécnico Nacional-Esime Zacatenco ، گروه Av Mecánica. IPN S/N ، EDIF. Z4 ، U. P. A. L. M. ، 07360 ، شهر مکزیکو ، مکزیکو.

ب موسسه Politécnico Nacional-Esime Zacatenco ، گروه سیستم ، Av. IPN S/N ، EDIF. Z4 ، U. P. A. L. M. ، 07360 ، شهر مکزیکو ، مکزیکو.

دو نوع روش (گرافیکی و آماری) که معمولاً برای ثبات بعد فراکتال رابط های خودکشی مورد استفاده قرار گرفتند ، مورد بررسی قرار گرفت. مشخص شد که گوشتهای فعلی هر دو kkind برای این نوع پروفایل خطاهای قابل توجهی دارند. در کار حاضر یک روش جدید و کارآمد برای آمار ابعاد فراکتال سفارتهای خودکشی در فضا R 2 بر اساس جعبه شمارش و اسماعاتورهای وود هال ایجاد شده است. برخی از پیامدهای جسمی مورد بحث قرار گرفته است.

کلمات کلیدی: بعد فراکتال ؛رابط خشن ؛تالار چوب ؛جعبه جعبه ؛پردازش تصویر

PACS: 05. 45. DF ؛05. 10.-A

اصطلاح "فراکتال" اشکال نامنظم ، خشن یا پیچیده ای را تعریف می کند که توسط هندسه اقلیدسی قابل توصیف نیست. فضای اقلیدسی که در آن سفارت می شودبا توجه به خواص فوق ، مقدار D کسری است. ابعاد فراکتال تعداد زیادی برنامه در ARE های مختلف علوم و مهندسی دارد ، مانند: مدل سازی آتش سوزی های جنگلی 3 ، جریان در رسانه های متخلخل 4 ، رسانه های غیرقانونی ، نفوذ 6 ، الکتروواسموتیک در رسانه های متخلخل ، مقیاس پیاده روی های خود اجتنابدر بسیاری از این موارد ، نیاز به تخمین ابعاد فراکتال تصاویر bitmap از منحنی های خود اجتناب از روگ تعبیه شده در R 2 بسته به حوزه تحقیقاتی است. به طرز وحشتناکی ، برآوردگرهای زیادی از D پیروی از قوانین مختلف قدرت 9 ، 10 ، 11 وجود دارد که به برآوردگرهای گرافیکی (تصویر) و آماری (داده ها) تقسیم می شوند.

در عمل، تخمین بعد فراکتالی یک رابط خشن از یک تصویر چالش برانگیز است 12 و دو نوع روش برای تخمین وجود دارد. نوع اول با استفاده از برآوردگرها (گرافیکی) که تصاویر دودویی رابط ها را اجرا می کنند و مستقیماً D را تخمین می زنند، پیاده سازی می شود. به عنوان مثال، نرم افزار Benoit 1. 3 13 و FracLac 14 چنین روال هایی را بر اساس تخمین Box-count 1 و غیره انجام می دهند. در روش های نوع دوم، تصویر باینری یک رابط زبر، که می تواند به عنوان یک راه رفتن خود اجتنابی نشان داده شود، به یک سری تک مقدار تبدیل می شود، و تخمین D با استفاده از اطلاعات عددی از این نمایه تبدیل شده انجام می شود. 4 انتخاب یک برآوردگر مناسب برای سری های زمانی. این نوع روش ها منجر به تغییر اطلاعات پروفیل به دلیل برش یا پر شدن برآمدگی ها و دره های تشکیل شده می شود که منجر به خطا در تخمین بعد فراکتال پروفایل رابط اصلی می شود (نمونه ای از این روش در زیر ارائه شده است. در بخش 3).

در این کار ما نشان می دهیم که هر دو نوع روش واقعی تخمین های قابل اعتمادی را برای پروفایل های خود اجتنابی ارائه نمی دهند. هدف این کار توسعه یک روش جدید برای تخمین بعد فراکتال D بر اساس تعمیم تخمین گرهای Box-count و Hall-Wood برای خود اجتنابی رابط های خشن تعبیه شده در R2 بدون تبدیل آنها به یک سریمشخصات تک ارزشی و نشان دادن کارایی آن در مقایسه با روش های سنتی.

2. روش های تخمین بعد فراکتال

اساساً، تمام روش های طراحی شده برای تخمین D بر اساس یک طرح مشترک است که در آن D به عنوان تابعی از مقیاس حاکم بر قانون توان القا می شود و برآورد با استفاده از روش رگرسیون خطی برازش با روش حداقل مربعات به دست می آید. لازم به ذکر است که همه برآوردگرها برای یک نوع داده قابل استفاده نیستند، بنابراین برای به دست آوردن یک تخمین قابل اعتماد لازم است روش تخمین با توجه به نوع داده و نمایش آن (داده های آماری) انتخاب دقیقی انجام شود. سریال یا تصویر).

2. 1 برآوردگر تعداد جعبه

تخمین گر شمارش جعبه یکی از محبوب ترین و پرکاربردترین تخمین گرها است و با قانون مقیاس بندی زیر ایجاد می شود:

D B C = l i m ϵ → 0 l o g N ( ϵ ) l o g ( 1 / ϵ ) (1)

جایی که D_{قبل از میلاد مسیح}بعد شمارش جعبه است، N (ε) نشان دهنده کوچک ترین تعداد جعبه های عرض ϵ در فضای اقلیدسی با بعد d است که می تواند مجموعه نقطه را پوشش دهد:

X = <( t , X t ) ∈ R × R d : t ∈ T , X t ∈ R d>⊂ R d + 1 (2)

یعنی نمودار سری های زمانی یا داده های مکانی X_تیدر مجموعه زمان محدود T ⊂ R مشاهده شد.

ایده اصلی این روش این است که در ابتدا نمودار سری توسط یک کادر محدود پوشیده شده است که به چهار ربع تقسیم می شود. این فرآیند متعاقباً با هر یک از ربع ها تکرار می شود تا زمانی که عرض جعبه حاصل با وضوح داده هایی که تعداد جعبه های مورد نیاز در هر مرحله را ثبت می کنند مطابقت داشته باشد. بنابراین، اگر N ( ϵ ) تعداد جعبه های مورد نیاز در مقیاس ϵ باشد، برآوردگر شمارش جعبه برابر با شیب در تناسب رگرسیون حداقل مربعات معمولی l o g N ( ϵ ) روی l o g ϵ است. این روش را می توان برای تعیین کمیت بعد فراکتال هر مجموعه ای از نقاط در صفحه و به ویژه برای واسط های تک ارزشی یا داده های سری زمانی استفاده کرد.

برخی از نویسندگان مشکلاتی را با برآوردگر شمارش جعبه اصلی شناسایی کردند، که شامل همه مقیاس ها در برازش رگرسیون حداقل مربعات l og N ( ε ) بر روی l o g ε است، و اصلاحاتی را پیشنهاد کردند که امکان دستیابی به تخمین های قابل اعتماد D را برای برخی از انواع داده ها فراهم می کند 15.

2. 2 برآوردگر هال-وود

پیتر هال و اندرو وود 16 اصلاحیه تخمینگر شمارش جعبه را برای بعد فراکتال D معرفی کردند._HW، که تا کوچکترین مقیاس های قابل مشاهده عمل می کند. فرض کنید A ( ϵ ) مساحت کل جعبه هایی با مقیاس ϵ باشد که با نمودار درون یابی خطی X تلاقی می کنند، پس اگر N ( ϵ ) تعداد کل چنین جعبه هایی باشد، بنابراین

A ( ̵ ) ∝ N ( ̵ ) ̵ 2 , (3)

که منجر به فرمول بندی مجدد تعریف (1) می شود که:

D H W = 2 - l i m ϵ → 0 l o g A ( ε ) l o g ( ϵ ) (4)

در مقیاس ϵ l = l / n، که در آن n تعداد کل سری های داده و l = 1،2، است..., n , برآوردگر Hall-Wood مشابه تخمینگر Box-count کار می کند، اما تفاوت اصلی این است که برنامه مقیاس فقط روی "ستون ها" عمل می کند و A (l / n) را می شمارد.

این برآوردگر در مقایسه با روش اصلی Box-count 15 از دقت بهتری برخوردار است، اما عیب آن این است که فقط در موردی قابل اعمال است که مجموعه نقاط X یک نمایه (واسط) یک مقدار از فرم باشد (2).) یعنی نمودار سری زمانی یا داده های فضایی قابل مشاهده بر روی یک مجموعه محدود T ⊂ R از زمان ها یا نقاط مساوی 10 .

2. 3 برآوردگرهای مادوگرام و واریوگرام

در موردی که داده ها به عنوان داده های سری زمانی یا داده های مکانی مشاهده شده در یک مجموعه محدود از زمانها یا نقاط به همان اندازه فاصله داده می شوند ، بهترین نتایج برای تخمین D توسط برآوردگرهای متنوع ، به ویژه مادوگرام و واریوگرام ارائه می شود. برآوردگرهای 15 و به طور بالقوه ، استفاده از آنها را می توان در فرآیندهای ناهمسانگرد و غیر ثابت گسترش داد.

اگریک فرآیند گاوسی با افزایش ثابت است که واریتوگرام یا عملکرد ساختار آن است:

γ 2 (t) = 1 2 e (x u - x u + t) 2

جایی که γ 2 (t) مقدار متوسط اختلاف مربعات مقادیر در دو نقطه است که با فاصله یا فضا t و e (.) از انتظار ریاضی را نشان می دهد ، سپس آن را نگه می دارد:

γ 2 (t) = |ج 2 t |α + O |t |α + β ، a s t → 0 ،

where α ∈ ( 0,2 , β ≥ 0 , y C 2>0در اینجا α شاخص فراکتال است ، β ناهمواری است ، |⋅ |هنجار اقلیدسی را نشان می دهد ، بنابراین ، نمودار مسیر نمونه ، ابعاد فراکتالی را دارد:

D = D + 1 - α 2.(5)

The Variogram estimator is obtained using the classical method of moments estimator for γ 2 ( t ) . In the publication of Bez and Bertrand 17 it was suggested that the Madogram estimator, that is, variational estimator obtained from the Variogram of order p>0 از فرم:

γ P (t) = 1 2 E (x u - x u + t) p

برای P = 1 ، کارآمدتر است و رابطه (5) بین ابعاد فراکتال D و شاخص فراکتال α نسبت به مورد پیش فرض P = 2 به دلیل این واقعیت قوی تر است

γ P (t) = |C P T |α P / 2 + O |t |(α + β) P / 2 ، A S T → 0.

به طور کلی ، پایین تر مقدار ناهمواری β β است ، سخت تر تخمین شاخص فراکتال α است ، و تعصب نمونه محدود از برآوردگرهای شاخص فراکتال یا بعد فراکتال 15 برجسته تر است.

برای مقایسه کارایی روشهای متداول تخمین بعد فراکتال از هر دو نوع (گرافیکی و آماری) درجه تغییر برآوردهای به دست آمده توسط هر دو نوع برآوردگر مورد بررسی قرار گرفت. برای این هدف ، سری داده های نمونه مصنوعی با مقدار D شناخته شده در Matlab 18 تولید شد. تمام نمونه ها 1500 مقدار کسری داشتند و به سه گروه تقسیم شدند که مقادیر D 1. 2 ، 1. 5 و 1. 8 بود. پس از آن ، ابعاد فراکتال نمونه های داده ها با استفاده از برآوردگرهای آماری جعبه ، وود و واریوگرام از نظر عددی توسط بسته بندی Fractaldim 19 برآورد شد. علاوه بر این ، نمونه های داده ها نیز در bitmaps های گرافیکی ، باناریزه کردن تصویر تبدیل شدند و پس از آن ابعاد فراکتال آنها با استفاده از بسته Fractaldim در همان روش برای مقالات داده تخمین زده شد.

نتایج تخمین های دو منبع اطلاعات (سری داده ها و مپ های گرافیکی) نمونه ها مقایسه شد. در شکل 1 میانگین واریانس به دست آمده برای 4500 نمونه از هر دو نوع برآوردگر نشان داده شده است.

شکل 1. مقایسه انحرافات استاندارد تخمین ها برای سری داده های مشابه به دست آمده توسط دو نوع برآوردگر: گرافیکی (تصویر) و آماری (داده).

توجه داشته باشید که برای یک سری داده یک تبدیل ساده از داده های عددی به یک تصویر منجر به واریانس قابل توجهی در برآوردها می شود. به عنوان مثال، در شکل 1 مشاهده می شود که تخمین ابعاد فراکتال برای تصاویر سری داده ها دارای دامنه وسیع تری از نتایج (جعبه سفید) در مقایسه با تخمین های به دست آمده توسط برآوردگرهای آماری برای نمونه های داده های عددی اصلی (خاکستری) است. جعبه) و بنابراین برآوردگرهای آماری تخمین های قابل اعتماد تری را برای پروفایل های تک ارزشی (سری داده ها) ارائه می دهند.

با این حال، این برآوردگرهای آماری را نمی توان به طور مستقیم برای تخمین بعد فراکتالی منحنی های خود اجتنابی تعبیه شده در R2 به دست آمده از یک تصویر رابط استفاده کرد. برای اعمال برآوردگرهای آماری D برای پروفایل های خود اجتنابی، ابتدا لازم است آنها را به پروفایل های تک ارزشی تبدیل کنیم. نمونه ای از مراحل این تبدیل در شکل 2 ارائه شده است که برای تصویری از جذب در آزمایش های رسانه ای بی نظم به دست آمده است.

شکل 2. تبدیل از پیاده روی خود اجتنابی به یک سری تک ارزشی: الف) تصویر اصلی از نمایه ناهمواری، ب) تصویر باینری از نمایه ناهمواری، ج) نمایه خود اجتنابی، د) نمایه خود اجتنابی تبدیل شده است. به یک سری تک ارزشی

با این وجود، در زیر نشان می دهیم که برای منحنی کخ 20، که نمایه خود اجتنابی دارد، این تبدیل منجر به خطای قابل توجهی در تخمین D می شود. بنابراین، نیاز به توسعه یک روش گرافیکی کارآمد برای تخمین ابعاد فراکتال برای پروفایل های خود اجتنابی وجود دارد.

در ادامه روشی برای تخمین D برای پروفایل های خود اجتنابی به نام تخمینگر شکنش پیشنهاد می کنیم و کارایی آن را با اعمال آن در نمونه های کلاسیک چنین منحنی ها نشان می دهیم: منحنی کخ، منحنی کخ اصلاح شده 21، G.₂منحنی کخ 22 اصلاح شده و منحنی وایرشتراس 23.

3. 1 برآوردگر شکنش (FE)

با استفاده از به عنوان مرجع ، برآوردگر چوب تالار با مقیاس ϵ L = L / N تنظیم شده به طور مساوی با یک سری داده از فرم (2) ، یعنی پروفایل های با ارزش واحد ، ما یک روش را تهیه کردیم ، که امکان تخمین بعد فراکتال از یک خودکشی را فراهم می آورد. منحنی تعبیه شده در R 2 به دست آمده از یک تصویر رابط. این روش ، با نام برآوردگر کسری (FE) ، در موارد زیر تشکیل شده است. در مرحله اول ، منحنی خود اجتناب شده توسط یک جعبه محدود و پس از آن در مرحله k - th ، جایی که K = 2 ، 3 ،… ، M ، جعبه او به جعبه های مساوی K 2 تقسیم می شود ، با این هدف درتوجه داشته باشید که هر طرف جعبه محدود به بخش های مساوی K تقسیم می شود (شکل 3A). سپس نقاط تقاطع بین منحنی خودکشی و شبکه به دست آمده تعیین می شود و یک خط شکسته با پیوستن به طور متوالی به نقاط تقاطع ساخته می شود (شکل 3B). پس از آن ، بخش های خط شکسته توسط مستطیل های محدود کننده فردی با راس های متوالی در نقاط شکست (شکل 3C) پوشانده شده است و تعداد چنین مستطیل (k) در مرحله K شمارش می شود و غیره (شکل 3D). برآورد آهن از بعد فراکتال به عنوان رگرسیون خطی از طرح ورود به سیستم ، از ñ (k) در مقابل K-1 ، برای k = 1 ، 2 ،… ، م. در اینجا تعداد مراحل m یک عدد طبیعی بی حد و حصر است که به وضوح تصویر و ظرفیت محاسباتی بستگی دارد ، تعداد m بیشتر از دقت تخمین d بیشتر است.

شکل 3. عملکرد آهن روی یک منحنی خودکشی: الف) شبکه (k = 6) ، ب) خط شکسته تنظیم شده (k = 6) ، ج) پوشش جعبه خط شکسته تنظیم شده (k = 6) ، D) پوشش جعبه خط شکسته تنظیم شده (K = 10).

توجه داشته باشید که در ضمن تعداد مرحله K باعث افزایش خط شکسته آهن آهن به منحنی رابط می شود. علاوه بر این ، آهن منحنی خود را از بین می برد که به طور مساوی به طور مساوی نیست ، و از این طریق ، اطلاعات زیادی را از منحنی خشن هم در ردیف و هم در ستون ها در نظر می گیرد ، "شکستن آن" را به بخش های مستقیم کسری ، حفظ چوب تالار می دهد. ایده مقیاس اما شمارش جعبه ها مانند برآوردگر جعبه.

3. 2 تخمین ابعاد فراکتال منحنی Koch ، منحنی های Koch اصلاح شده و منحنی Weistrass

برای تأیید کارایی آهن ، که در بالا پیشنهاد شده است ، روال در ویژوال بیسیک برای برنامه های مربوط به Corel Draw X3 تهیه شد. برنامه توسعه یافته برای برآورد ابعاد فراکتال توسط Fe از منحنی Koch (شکل 4a) با D = 1. 1609 نظری ، تحول تک ارزش منحنی Koch (شکل 4B) ، منحنی Koch اصلاح شده (شکل 4C) بانظری d = 1. 1609 ، G 2 منحنی Koch اصلاح شده (شکل 4D) با D = 1. 2924 نظری و منحنی Weistrass (شکل 4E) فرم:

w (x) = ∑ k = 0 ∞ a k c o s (π b k x)

برای a = 0. 5 ، b = 33 و نظری d = 1. 8017.

شکل 4. الف) منحنی Koch تولید شده با 4200 گره ، ب) تحول تک ارزش از منحنی Koch ، ج) منحنی Koch اصلاح شده با 3200 گره ، D) منحنی KoCh اصلاح شده G2 تولید شده با 6680 گره ، E) منحنی Weistrass تولید شده با 1571گره ها

علاوه بر این ، برآوردگر جعبه موجود در نرم افزار Benoit 1. 31 و افزونه برای تصویر J Software از Fraclac 1. 48 ، و برآوردگرها جعبه ، هال ، وودوگرام و مادوگرام بسته Fractaldim از نرم افزار R ، که برای آن استفاده می شود ، استفاده می شود. تخمین D برای منحنی های فراکتال در نظر گرفته شده.

روال آهن به طور مستقیم به منحنی تولید شده بدون تبدیل آن به یک پروفایل تک ارزش انجام شد ، و تصویر گرافیکی بردار اصلی به قالب . BMP برای Benoit 1. 31 و Fraclac 1. 48 صادر شد ، جایی که D نیز مستقیماً از تصویر تخمین زده می شودبرآوردگر جعبه.

از آنجا که نرم افزار R فقط با داده های عددی کار می کند ، منحنی Koch به یک منحنی تک ارزش (شکل 4B) در قالب . png تبدیل شد. پس از آن تصویر باناری به عنوان ماتریس آنهایی و صفرها تعبیر شد ، هر ستون از آنهایی برای تهیه یک سری از مشخصات تک ارزشمند به حساب می آید که از آن D با استفاده از جعبه ، هال ، وودوگرام و برآوردگرهای مادوگرام تخمین زده می شود.

نتایج برآوردهای منحنی تک با ارزش Koch (شکل 4B) ، به روش سنتز شده توسط نمودار باکسپت در شکل 5 ارائه شده است ، جایی که ابعاد نظری و مورد انتظار D = 1. 2619 منحنی Koch با افقی نقطه مشخص شده استخط

شکل 5. برآورد ابعاد فراکتال از منحنی KOCH تک با ارزش تبدیل شده.

نتایج عددی از میانگین تخمین ها برای یک پروفایل تک ارزش تولید شده از منحنی Koch به دست آمده با استفاده از بسته Fractaldim در جدول I. ارائه شده است.

جدول I. مقادیر متوسط برآورد بعد فراکتال برای منحنی تک با ارزش Koch.

از جدول I مشاهده می شود که برآوردگر چوب تالار بهترین عملکرد را دارد و به دنبال آن واریوگرام است ، اما هیچ یک از برآوردگرهای در نظر گرفته شده تخمین قابل اعتماد ندارند. نتایج ذکر شده در بالا این واقعیت را تأیید می کند که تبدیل منحنی اصلی Koch به یک پروفایل تک با ارزش منجر به خطاهای قابل توجهی در تخمین بعد فراکتال می شود.

اکنون ، انجام تخمین D برای منحنی اصلی Koch توسط Fe ، T ، همانطور که انتظار می رفت ، مشاهده شد که برای رابط های خودکشی ، تناسب اساسی روش هال چوب (3) نگه نمی دارد (شکل 6).

شکل 6. رابطه چوب تالار (3) منحنی کوچ.

در همان زمان ، از شکل 7 ، می توان رفتار قانون قدرت را با ضریب تعیین R 2 بسیار نزدیک به 1 مشاهده کرد و مقدار تخمین زده شده D به دست آمده با روش FE پیشنهادی 1. 2609 است و D = 1. 2619 را تقریب می دهد.

شکل 7. برآورد ابعاد فراکتال برای منحنی Koch به دست آمده با روش FE.

در شکل 7 نقاط نشان داده شده به عنوان مثلث مطابق با دور از دسترس هستند و برای تناسب رگرسیون خطی در نظر گرفته نشده اند ، زیرا مقدار ضریب تعیین R 2 در این حالت به R2 = 0. 9873 کاهش می یابد. بعد فراکتال منحنی اصلی Koch نیز توسط برآوردگر جعبه با استفاده از نرم افزار Benoit و Fraclac برآورد شد. از همان برآوردگرها برای منحنی اصلاح شده Koch (شکل 4C) ، G 2 منحنی Koch اصلاح شده (شکل 4D) و منحنی Weistrass (شکل 4E) استفاده شد.

مقادیر تخمین ابعاد فراکتال منحنی Koch ، منحنی اصلاح شده Koch ، g₂منحنی Koch اصلاح شده و منحنی Weiersstrass به دست آمده توسط روش های Fe ، Benoit و Fraclac در جدول II ارائه شده است.

جدول II. تخمین ابعاد فراکتال منحنی های خودگردان نظریه: منحنی Koch ، منحنی اصلاح شده Koch ، G₂منحنی Koch اصلاح شده و منحنی Weirstrass.

همانطور که از جداول I و II مشاهده می شود ، روش FE توسعه یافته تخمین های قابل توجهی برای هر دو منحنی مورد مطالعه در مقایسه با روش های متداول تخمین ارائه می دهد.

علاوه بر این ، به عنوان رفتار مقیاس بندی یک پروفایل با بیش از حد (شکل 2) ، می تواند با حذف بیش از حد در بازنمایی رابط واقعی توسط پروفایل تک ارزش 24 ، از خود میل به چند میل منتهی شود ، روش پیشنهادی از این امر جلوگیری می کند. مشکل و نیازی به مطالعه بیشتر مقیاس بندی و جهانی بودن برای منحنی های متنوع خودکشی نیست.

در این کار ، مطالعه ای از برآوردگرهای گرافیکی و آماری مانند تعداد جعبه ، چوب هال ، واریوگرام و مادوگرام برای منحنی های خودکشی تعبیه شده در R 2 انجام شد. مشخص شد که هر دو نوع روش واقعی خطای قابل توجهی دارند و تخمین قابل اعتماد برای این نوع فراکتال ها ارائه نمی دهند.

یک روش جدید برای برآورد بعد فراکتال برای رابط های خشن خودکشی بر اساس کارآیی برآوردگر چوب هال تهیه و مورد بررسی قرار گرفت. برآورد ابعاد فراکتال به دست آمده با روش پیشنهادی برآوردگر کسری برای منحنی های فراکتال در نظر گرفته شده نزدیک به بعد نظری فراکتال ها نزدیک می شود و برآوردهای دقیق تری را در مقایسه با برآوردگرهای متداول ارائه می دهد. نتایج به دست آمده اعتبار کار و استفاده از روش پیشنهادی را برای محاسبه D برای رابط های خشن و همچنین سری زمانی تأیید می کند.

نویسندگان از حمایت مالی ارائه شده از طریق پروژه های SIP-IPN 20161408 ، 20160560 و بورس تحصیلی Conacyt تشکر می کنند.

1. K. Falconer ، هندسه فراکتال ، بنیادهای ریاضی و برنامه های کاربردی 3 نسخه ، (نیویورک ، 2014).[پیوندها]

2. C. D. کاتلر ، K. S. چان ، P. A. W. لوئیس ، B. K. ری ، P. J. Brockwell ، و P. Dinh Tuan ، تخمین ابعاد و مدل ها (شرکت انتشارات علمی جهانی Pte. Ltd. ، سنگاپور ، 1993).[پیوندها]

3. J. Zhang ، Y. C. ژانگ ، P. Alstrom و M. T. لوینسن ، فیزیکا A 189 (1992) 383. [پیوندها]

4. A. S. Balankin ، A. Bravo Ortega و D. Morales Matamoros ، Phil. مگسکاهنده80 (2000) 503. [پیوندها]

5. M. Alava ، M. Dubé and M. Rost ، Adv. فیزیک53 (2004) 83. [پیوندها]

6. V. Blavatska و W. Janke ، Phys. رویه 3 (2010) 1435. [پیوندها]

7. M. Liang ، S. Yang ، T. Miao and B. Yu ، Chem. مهندسعلمی127 (2015) 202. [پیوندها]

8. M. Bousquet-Mélou ، J. Combi. تئوری. A 117 (2010) 313. [پیوندها]

9. A. Reza Mehrabi ، H. Rassamdana و M. Sahimi ، Phys. Rev. E 56 (1997) 712. [پیوندها]

10. J. C. Gallant ، I. D. مور ، M. F. هاچینسون و پ. گرسلر ، ریاضی. GEOL26 (1994) 455. [پیوندها]

11. A. Malinveo ، Geophys. resکاهنده17 (1990) 1953. [پیوندها]

12. Q. Huangn ، J. R. Lorch و R. C. Dubes ، تشخیص الگوی. 27 (1994) 339. [پیوندها]

15. T. Gneiting ، H. Sevcíková و D. B. Percival ، Stat. علمی27 (2012) 247. [پیوندها]

16. P. Hall and A. Wood ، Biometrika 80 (1993) 246. [پیوندها]

17. N. Bez و S. Bertrand ، تئوری. ECOL4 (2011) 371. [پیوندها]

20. B. Mandelbrot ، Fractals: فرم ، شانس و بعد (W. H. Freeman and Company ، سانفرانسیسکو ، 1977).[پیوندها]

21. A. Barcellos، Coll. ریاضی. J. 15, (1984) 107. [ پیوندها ]

22. جی. هلمبرگ، آشنایی با فراکتال ها (دی گروتر، برلین، 2008).[لینک ها]

23. بی. ر. هانت، پروک. عامرریاضی. Soc. 126, (1998) 791. [ پیوندها ]

24. اس. ج. میچل، فیزیک. Rev. E 72 (2005) 065103. [ پیوندها ]

دریافت: 6 خرداد 1395; پذیرش: 30 آگوست 2016

این یک مقاله با دسترسی آزاد است که تحت شرایط Creative Commons Attribution License توزیع شده است

Circuito exterior s/n (Facultad de Ciencias, Departamento de Física 2o. Piso), A. P. 70-348 , México, Distrito Federal, MX, 04510, (52-55)5622-4946